The Blues, som Champions League for blot to år siden, ligger på en skuffende 14. plads i Premier League, kun fire point over nedrykningsstregen, efter én sejr i de første seks kampe.
Deres seneste tilbageslag var et 1-0 nederlag mod Aston Villa i søndags, hvor Ollie Watkins scorede sejrsmålet efter udvisningen af Chelseas forsvarsspiller Malo Gusto.
Sidste år fik Chelsea det laveste antal point i Premier League-æraen, men de har fået en endnu værre start på den nuværende sæson.
"Giv mig tid," bad Pochettino efter søndagens kamp og opfordrede klubbens amerikanske ejere til at bakke ham op.
"De (ejerne) er skuffede, de kom til klubben og var så spændte på at bygge et projekt.
"Selvfølgelig er de skuffede, men samtidig er de nødt til at støtte planen."
Pochettino blev bekræftet som den nye mand i det varme sæde på Stamford Bridge i maj - og blev den tredje permanente chef, siden Todd Boehlys konsortium købte klubben i det vestlige London fra Roman Abramovich i 2022.
Chelsea hyldede argentineren som en "vindende træner, der har arbejdet på de højeste niveauer".
Boehly bakkede sin manager op ved at finansiere endnu en kæmpe indkøbstur i sommerens transfervindue, hvilket bragte Chelseas udgifter til nye spillere på lidt over et år op over 1 milliard pund (8,5 milliarder kroner).
Men afkastet på deres investering har været ynkeligt, i en periode med omvæltninger på og uden for banen.
Målfattige Chelsea
Chelsea har kun scoret fem mål i deres første seks ligakampe - og tre af dem kom i 3-0-sejren mod nyoprykkede Luton.
De har ikke scoret i 13 Premier League-kampe i 2023 - mere end noget andet hold.
Den frustrerede Pochettino beklagede sit holds mangel på held i nederlaget til Villa og sagde, at det eneste, der manglede, var mål.
"Vi skal være opmærksomme på, hvad der foregår, men på en eller anden måde skal vi være rolige, for holdet skaber, holdet lever, holdet kæmper hver eneste gang," sagde han.
Pochettino kan pege på en lang skadesliste som en del af forklaringen på Chelseas stumpe angreb.
Han mistede den franske angriber Christopher Nkunku til en alvorlig knæskade i en venskabskamp før sæsonen, men andre som Mykhailo Mudryk, Nicolas Jackson, Raheem Sterling og Cole Palmer har ikke kunnet levere.
Den tidligere Tottenham- og Paris Saint-Germain-chef vil være smerteligt bevidst om, at Chelsea ikke er en tålmodig klub - hyr-og-fyr-kulturen fra Abramovich-æraen fortsætter under Boehlys ledelse.
Chelsea fyrede Thomas Tuchel i de første uger af sidste sæson, og Graham Potter led samme skæbne i april, hvor han blev fyret efter mindre end syv måneder i spidsen, da klubben lå nummer 11 i tabellen.
Pochettino opbyggede sit omdømme i løbet af sine fem år i Tottenham og overtog efterfølgende PSG, hvor han vandt Ligue 1-titlen.
Han formåede dog ikke at opfylde PSG's primære mål om at vinde Champions League, så hans manager-CV er stadig relativt tyndt i sølvtøj sammenlignet med nogle af hans kolleger i Premier League.
Næste opgave for Chelsea er formstærke Brighton, som rejser til Stamford Bridge på onsdag for at spille tredje runde i Liga Cuppen.
Derefter møder de lokalrivalerne fra Fulham i Premier League, og siden venter der kampe mod Arsenal, Tottenham og mestrene fra Manchester City.
Villa-fansene glædede sig over Chelsea-chefens ubehag i weekenden og sang, at han ville blive "fyret i morgen tidlig".
Der er ingen tegn på, at klubbens bestyrelse forbereder sig på at trykke på aftrækkeren endnu, men de kan føle sig tvunget til at handle snart, medmindre der sker en dramatisk forbedring.